六年级下册数学试题-迎春杯培训第3讲数论综合（教师版）全国通用（含答案）
第三讲 数论综合
数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
知识概要
整除问题
整除是我们很早接触的一个概念，对于它的性质我们也比较熟悉，不过它在题目表现出来的很大的灵活性和很强的技巧性，仍然是值得我们不断学习和思考的．下面我们先回顾一下相关知识：
整除的概念
a，b，c为整数，且，如果a÷b=c，即整数a除以整数b，得到的商是整数c且没有余数，那么称作n能被b整除，或者是说b能整除a，记作；否则，称为a不能被b整除，或是说b不能整除n．如果整数a能够被整数b整除，则a叫做b的倍数，b叫做a的约数．
整除的基本性质
如果a，b都能够被c整除，那么它们的和与差也能够被c整除．即：如果，那么
如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a．即：如果，那么
如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．即：如果
如果b，c都能够整除，且b与c互质，那么b与c的乘积能整除a．即：
数的整除特征
能被2整除的数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；
能被3(或9)整除的数的特征：各位的数字之和能够被3(或9)整除；
能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能够被4(或25)整除；
能被5整除的数的特征：个位数字是0或5；
能被7(或11、13)整除的数的特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差能够被7(或1、11、13)整除；
能被8(或125)整除的数的特征：末三位数能够被8(或125)整除；
能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能够被11整除．
1. 质数与合数
一个数除了l和它本身，不再有别的约数，那么这个数叫做质数．比如2，3，7，37，…．一个数除了1和它本身，还有别的约数，那么这个数是合数．比如4，8，14，48，…．特别的：1既不是质数也不是合数．
2. 质因数与分解质因数（算术基本定理）
如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数．把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．比如：把42分解质因数应该是42=2×3×7，其中2，3，7是42的质因数．又如： ，其中2和3都是54的质因数．
3. 利用分解质因数求约数的个数
一般地，如果分解质因数有下列形式： 其中 都是质因数，而 是指数，即对应A包含各个质因数的个数．
1) 那么A的所有约数的个数为 比如： ，那么300的所有约数共有(2+1)(1+1)(2+1)=18个．
2) 那么A的所有约数的和为
约数与倍数约数与倍数的关系很简单，其实就是整除关系的另外一种称谓；当然也有概念的延伸，就是在多个数之间去研究公约数和公倍数，经常地应用最大公约数与最小公倍数解题．下面我们就先回顾基本的概念：
1. 公约数与最大公约数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数．例如：12的约数有1，2，3，4，6，12．18的约数有l，2，3，6，9，18 那么它们的公约数有l，2，3，6；其中最大公约数为6．
